L'analyse des rapports de la philosophie et des mathématiques à propos du calcul infinitésimal, donne à voir des bouleversements historiques considérables : l'éclosion des grandes philosophies classiques de l'infini, et leur décadence rapide, les formes originales de fonctionnement que la philosophie a assurées de la Renaissance au XVIIIe siècle, vis-à-vis des recherches mathématiques, les sources d'une nouvelle idéologie plus cachée, celle de la rigueur, avec son double aspect : autonomie de la philosophie et suffisance des mathématiques, les vraies raisons enfin de la scission entre savants et philosophes dès le XVIIIe siècle. Ces mouvements historiques tournent autour de quelques grandes mutations scientifiques de long terme, en particulier la montée du calcul et sa domination progressive sur la géométrie. Mais ils sont aussi les effets des difficultés de la philosophie à transformer les intuitions qu'elle continue à emprunter à la géométrie, à penser à la fois le fini et le défini par rapport à l'infini et à l'indéfini, à distinguer le concept d'infini et l'infinité du concept. Les mathématiciens Euler et Lagrange, marquent deux étapes primordiales pour comprendre ce processus : le triomphe, encore empirique, du calcul sur la géométrie, et l'apparition de l'idéologie de la rigueur et d'un certain abandon devant le concept ; en référence à ces travaux qu'il exploite, Hegel témoigne du moment où la philosophie classique de l'infini achève de disparaître, et cède confusément la place à une nouvelle manière de philosopher, issue de l'attention à l'histoire, embarrassée de fiction, que les philosophes manifestent dès le XVIIIe siècle. Ce livre est un premier produit de la collaboration de mathématiciens et de philosophes, à partir d'un cours et de groupes de travail réunis à l'E.N.S., rue d'Ulm.